Années 2012/2013


Le travail des Secondes

     Les élèves de secondes ont tout d'abord creusé le problème (c'est le cas de le dire...) en réalisant différents croquis, afin de voir ce que ferait la machine pour différents alphas choisis. Ils sont ensuite partis sur deux pistes différentes.



     Certains sont partis du principe que le programme s'arrête. Soit q le nombre total de points placés, et p le nombre d'allers/retours.
     Si tous les allers sont placés les uns à la suite des autres, la distance totale qu'ils représentent sera égale à la longueur d'un aller (donc la longueur du trou soit 1), multipliée par le nombre d'allers/ retours, soit: dist_totale= 1 x p =p.
     Si tous les allers sont placés les uns à coté des autres, la distance séparant deux trous reste égale à alpha. Donc la distance entre deux points multipliée par le nombre de points est égale à la distance totale, ce qui revient à: α x q= p .D'ou: α = p/q.
     Exemple : avec alpha=3/4: On a 4 points placés (q) en ¼, ½, ¾ et 1, et 3 allers (p) : 1er aller en noir, 2eme en gris et 3eme en pointillés.




     Les secondes ont ensuite cherché à donner une épaisseur au foret de la machine, telle que tout l' intervalle [0;1] soit creusé pour avoir un trou à fond plat. Comme q est le nombre de points, et que l' intervalle à creuser a une longueur de 1, si l'on donne E= espace entre deux trous, alors on a E x q=1 d' où E=1/q. Il suffit donc que la largeur du foret soit égale à 1/q pour avoir un trou à fond plat. Néanmoins, cette solution ne fonctionne que pour un alpha rationnel.



     D' autres élèves de secondes ont opté pour une autre méthode: ils ont transformé l' intervalle [0;1] de longueur 1 en cercle de périmètre 1. Cela permet de tourner autour du cercle, au lieu de revenir au début de l'intervalle. Ils ont aussi décidé de représenter alpha non pas par une longueur, mais par un angle. Exemple réalisé avec le logiciel Géogébra:


     Sur cette représentation, α' est égal à 13°. Ainsi on pose un point tous les 13° et le programme se termine lorsqu'on retourne au point de départ.
     Donc pour un angle alpha prime très petit, les points seront collés, et l'espace les séparant sera nul, donc le trou aura un fond plat, car les points seront collés comme ci dessous. Mais ces points apparaissent collés car ils sont dessinés par l' ordinateur pour être apparents. Si l'on zoome, ils ne sont plus collés... Et même pour un alpha très proche de 0, on trouvera toujours des points non creusés entre deux points creusés, car un cercle contient une infinité de points, comme le montre l'image ci dessous:




     Les Secondes sont donc arrivés à la conclusion suivante: le programme ne se termine que pour un alpha rationnel de la forme alpha=p/q, et le trou sera plat dans la réalité si le foret a une largeur au moins égale à 1/q. Avec la représentation du cercle, ils ont pointé le problème de la densité des nombres dans un intervalle, ce qui laisse des questions en suspens quant à la manière de toucher tous les points de l'intervalle [0;1].