Années 2013/2014


Qu'est ce qu'un nombre parfait ?

Définition

     Un nombre parfait est un nombre qui est égal à la demi-somme de ses diviseurs, y compris 1 et lui même.
Exemple pour le nombre 6:
1+2+3+6=12 , 12/2=6. Donc 6 est un nombre parfait.
     Les nombres parfaits sont très rares, et, à ce jour, seuls 48 nombres parfaits ont été découverts. Le plus petit est 6, tandis que le plus grand est un nombre à 115 770 321 chiffres, que l'on peut noter: 257 885 160(257 885 161-1) Tout les nombres parfaits découverts sont pairs, et l'on ignore totalement s'il en existe des impairs.
     Nous avons également mis au point un programme sur calculatrice Ti-82, permettant de savoir si un nombre est premier ou non:
Testez l'algorithme: (/!\ Pour des grands nombres, le test sera long.)

Les 5 premiers nombres parfaits:
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064
33 550 336 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 + 2 048 + ...

Propriétés des nombres parfaits

     Tout nombre parfait pair est à la fois triangulaire, et hexagonal. Exemples pour les nombres 6 et 28 sur ces images en provenance du site http://www.recreomath.qc.ca/ :


     Ces nombres ont aussi une autre propriété plus amusante: une fois écrit en base 2, c'est-à-dire en binaire, il forme une pyramide:      Une nouvelle propriété de ces nombres concerne leur écriture: un nombre parfait peut s'écrire sous la forme:
(2p-1)(2p-1). Exemples:      On remarque que pour chacun de ces exemples, (2p-1) est un nombre premier. (Les nombres premiers sont divisibles uniquement par un et eux-mêmes, 1 et 0 exclus.)

Démonstration de la dernière propriété